SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Sistemas de numeración
Un sistema de numeración
es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos.
Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se
caracterizan porque un
símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.
1. Sistema de
numeración decimal:
El sistema de numeración
que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades,
decenas, centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito
está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la
cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la
posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.
En el sistema decimal el
número 528, por ejemplo,
significa:
5 centenas + 2 decenas +
8 unidades, es decir:
5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:
500 + 20 + 8 = 528
En el caso de números
con decimales, la situación es
análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán
negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del
separador decimal. Por ejemplo, el número8245,97 se calcularía como:
8 millares + 2 centenas
+ 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos
8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:
8000 + 200 + 40 + 5 +
0,9 + 0,07 = 8245,97
Sistema de
numeración binario.
El sistema de numeración
binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).
En una cifra binaria,
cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor
de cada posición es el de una potencia de base
2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se
puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la
potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar
los números.
De acuerdo con estas
reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:
1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:
8 + 0 + 2 + 1 = 11
y para expresar que
ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:
10112 = 1110
2. Conversión entre
números decimales y binarios
Convertir un número
decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en
cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.
Por ejemplo, para
convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de
divisiones que arrojarán los restos siguientes:
77 : 2 = 38 Resto: 1
38 : 2 = 19 Resto: 0
19 : 2 = 9 Resto: 1
9 : 2 = 4 Resto: 1
4 : 2 = 2 Resto: 0
2 : 2 = 1 Resto: 0
1 : 2 = 0 Resto: 1
y, tomando los restos en
orden inverso obtenemos la cifra binaria:
7710 = 10011012
Ejercicio 1:
Expresa, en código
binario, los números decimales siguientes: 191, 25, 67, 99, 135, 276
i.
El tamaño de las
cifras binarias
La cantidad de dígitos
necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el
sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el número 77, que en el sistema decimal
está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en
binario.
Para representar números
grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números
mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28 = 256 y podemos afirmar, por tanto,
que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.
Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse
un máximo de 2n,
números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2n – 1. Con cuatro bits, por ejemplo,
pueden representarse un total de 16 números, porque 24 = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1 = 15.
Ejercicio 2:
Averigua cuántos números
pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que
puede escribirse en cada caso.
Ejercicio 3:
Dados dos números
binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías
compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?
3. Conversión de
binario a decimal
El proceso para
convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta
con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su
posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado
más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando
posiciones hacia la izquierda.
Por ejemplo, para
convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo
en cuenta el valor de cada bit:
1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83
10100112 = 8310
Ejercicio 4:
Expresa, en el sistema decimal, los
siguientes números binarios:
110111, 111000, 010101, 101010, 1111110
Sistema de
numeración octal
El inconveniente de la
codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy
larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten
más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente,
resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.
En el sistema de
numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene,
naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de
cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.
Por ejemplo, el número
octal 2738 tiene un valor que se calcula así:
2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610
2738 = 149610
4. Conversión de
un número decimal a octal
La conversión de un
número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en
la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo,
para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes
divisiones:
122 : 8 = 15
Resto: 2
15 : 8 = 1
Resto: 7
1 : 8 = 0
Resto: 1
Tomando los restos
obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:
12210 = 1728
Ejercicio 5:
Convierte los siguientes
números decimales en octales: 6310,
51310, 11910
5. Conversión octal a
decimal
La conversión de un
número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada
posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el
valor de cada dígito:
2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910
2378 = 15910
Ejercicio 6:
Convierte al sistema
decimal los siguientes números octales: 458,
1258, 6258
Sistema de
numeración hexadecimal
En el sistema hexadecimal los números se representan con
dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se
utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales
10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en
el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es
lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.
Calculemos, a modo de
ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:
1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
1A3F16 = 671910
Ejercicio 7:
Expresa en el sistema
decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC516,
10016, 1FF16
Ensayemos, utilizando la
técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a
hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 173510 será necesario hacer las siguientes
divisiones:
1735 : 16 = 108
Resto: 7
108 : 16 = 6
Resto: C es decir, 1210
6 : 16 = 0
Resto: 6
De ahí que, tomando los
restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:
173510 = 6C716
Ejercicio 8:
Convierte al sistema
hexadecimal los siguientes números decimales: 351910,
102410, 409510
6. Conversión de
números binarios a octales y viceversa
Observa la tabla
siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal,
binario y octal:
|
DECIMAL
|
BINARIO
|
OCTAL
|
|
0
|
000
|
0
|
|
1
|
001
|
1
|
|
2
|
010
|
2
|
|
3
|
011
|
3
|
|
4
|
100
|
4
|
|
5
|
101
|
5
|
|
6
|
110
|
6
|
|
7
|
111
|
7
|
Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema
binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de
numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios,
o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su
correspondiente dígito octal.
Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits
y los sustituiremos por su equivalente octal:
1012 = 58
0012 = 18
0112 = 38
y, de ese modo: 1010010112 = 5138
Ejercicio 9:
Convierte los siguientes
números binarios en octales: 11011012,
1011102, 110110112, 1011010112
La conversión de números
octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito
octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número
octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos:
78 = 1112
58 = 1012
08 = 0002
y, por tanto: 7508 = 1111010002
Ejercicio 10:
Convierte los siguientes
números octales en binarios: 258, 3728, 27538
7. Conversión de
números binarios a hexadecimales y viceversa
Del mismo modo que
hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos
establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro
dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:
|
DECIMAL
|
BINARIO
|
HEXADECIMAL
|
|
0
|
0000
|
0
|
|
1
|
0001
|
1
|
|
2
|
0010
|
2
|
|
3
|
0011
|
3
|
|
4
|
0100
|
4
|
|
5
|
0101
|
5
|
|
6
|
0110
|
6
|
|
7
|
0111
|
7
|
|
8
|
1000
|
8
|
|
9
|
1001
|
9
|
|
10
|
1010
|
A
|
|
11
|
1011
|
B
|
|
12
|
1100
|
C
|
|
13
|
1101
|
D
|
|
14
|
1110
|
E
|
|
15
|
1111
|
F
|
La conversión entre
números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo"
cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar
en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatro
bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente
hexadecimal:
10102 = A16
01112 = 716
00112 = 316
y, por tanto: 1010011100112 = A7316
En caso de que los
dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir
ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:
1011102 = 001011102 = 2E16
Ejercicio 11:
Convierte a
hexadecimales los siguientes números binarios:
10101001010111010102,
1110000111100002, 10100001110101112
La conversión de números
hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito
hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a
binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las
siguientes equivalencias:
116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
